此时因为这个截断，我们可以定义希尔伯特空间的内积 ?v,w?=trv(n)?w(n)\\langle v,\\omega\\rangle=tr v_{(n)}^{\\dagger}w_{(n)} .

注意到我们这里对于态空间做了一个限制，这个态空间的限制会导致作用在其上的算符也有一个限制。

对于相应的算符

a=a1?a2....?an?.....a=a_{1}\\otimes a_{2}....\\otimes a_{n} \\otimes .....

也是必须要根据态空间的限制进行指定，即只有除了有限n个算符之外，其他 aa 都是恒等算符的时候，才是合理的算符空间。以上算符a（ A0\\mathcal{A}_{0} ) 还不足以生成一个算符空间，因为它并不是闭（closed）的，要让其闭合，需要引入极限要求算符可以收敛，最后算符空间的定义为

a:h→h,ax=limn→∞a(n)xforx∈ha: \\mathcal{h} \\to \\mathcal{h}, a\\chi=lim_{n \\to \\infty} a_{(n)} \\chi \\quad for \\quad \\chi \\in \\mathcal{h} .

当然我们也可以定义相应的a'空间，它们组成的互补代数 A,A′\\mathcal{A},\\mathcal{A'} 互相同构。 定义关于 A\\mathcal{A} 和 A′\\mathcal{A}' 代数是cyclic和seperating的态。

Ψ=I2′?I2′.....?I2′...∈h\\psi=I_{2}' \\otimes I_{2}'.....\\otimes I_{2}'...\\in \\mathcal{h}

一个自然的线性函数是

F(a)=?Ψ|a|Ψ?F(a)=\\langle \\psi|a |\\psi\\rangle

可以看出这个函数给出了求迹的定义，来验证一下

首先因为 |Ψ?|\\psi\\rangle 是seperating的，所以对于非零的a， a|Ψ?≠0a|\\psi\\rangle eq 0 ,所以首先 F(a?a)?0F (a^{\\dagger}a) \\geqslant 0

而对于两个算符a，b,

F(ab)=trm2[1]?....m2[k]a1b1?a2b2...?akbk=F(ba)F(ab)=tr_{m_{2}^{[1]} \\otimes....m_{2}^{[k]}}a_{1}b_{1} \\otimes a_{2}b_{2}...\\otimes a_{k}b_{k}=F(ba)

因此满足这个交换性，（我们注意到实际上定义完von-Neumann代数之后，cyclic seperating态的结构在这个交换性上产生了重要作用）。 因为以上性质，这个线性函数定义了求迹的运算，相应的von-Neumann代数被称为type II的，而能否定义求迹运算，实际上构成了type II和type III代数的最终区别。

下面介绍type III的代数：

type III的von-Neumann代数则是性质最差的，此时不仅无法定义子区域的希尔伯特空间，甚至求迹操作都没法良好定义。相比于前两个，它也是更为一般的von-Neumann代数。 考虑一般的两体纠缠，此时不是最大纠缠，可以把描述两体纠缠的矩阵写作

K2,λ=1(1+λ)1\/2diag(1,λ1\/2)K_{2,\\lambda}=\\frac{1}{(1+\\lambda)^{1\/2}} \\mathrm{diag}(1,\\lambda^{1\/2}) , diag表示对角矩阵。

此时构造type III的方法就是把构造type II时的所有 I2′I_{2}' 换为 K2,λK_{2,\\lambda} .

同时要求态除了有限个之外，其他的 vnv_{n} 都等于 K2,λK_{2,\\lambda} . 根据态空间的结构，也可以类似的构造其上的算符，先定义 A0\\mathcal{A_{0}} ,然后再采取相同的步骤利用极限保证代数闭合，因此定义的代数是 Aλ\\mathcal{A}_{\\lambda} , 因为定义代数闭合的时候需要利用希尔伯特空间，因此 Aλ≠AA_{\\lambda}eq \\mathcal{A} ，因此会得到和type II不同的代数结构。对于相应的代数，此时的cyclic seperating态为

Ψ=K2,λ?K2,λ.....?K2,λ....\\psi=K_{2,\\lambda} \\otimes K_{2,\\lambda}.....\\otimes K_{2,\\lambda}....

可以很自然的去进行验证，此时 F(a)=?Ψ|a|Ψ?F(a)=\\langle \\psi|a|\\psi\\rangle 定义给出的线性函数不满足 F(ab)=F(ba)F(ab)=F(ba) ，因此代数不再有一个合理的求迹的定义。

对于 λ≠λ′\\lambda eq \\lambda' 时，通常 Aλ,Aλ′\\mathcal{A}_{\\lambda}, \\mathcal{A}_{\\lambda'} 不是同构的。以上的构造也可以进行推广，即我们可以取不同的 K2,λK_{2,\\lambda}

此时就有一个数列的 {λ1,λ2,...λn}\\{\\lambda_{1},\\lambda_{2},...\\lambda_{n}\\} , 如果以上的数列收敛于一个特定的 λ\\lambda ,那么得到的代数和之前说的一致，叫做 typeIIIλtype III_{\\lambda} .

而如果以上数列并不收敛，而是至少在两个值之间震荡的话，那么就可以得到type III1III_{1} 代数。

以上我们就介绍完了三种冯诺依曼代数的构造，而通常的量子场论，它的代数都是type III的，实际上对于量子场论我们没办法像量子力学一样去讨论态的纠缠，因为此时希尔伯特空间不再具有直积的结构，因此不可以通过求迹得到子区域的密度矩阵。这也就是通常对于量子场论子区域纠缠熵发散的原因。

之前的研究通常都是取截断来正规化这个发散，但是这样就会将代数改变为type I的，进而再进行讨论，这样会不可避免的失去一些本质的信息。而通过代数的研究可以发现，量子场论中universal的子区域纠缠熵发散，并不是态的性质，而是von-Neumann代数的结构导致的。此时如果讨论 A,A′\\mathcal{A},\\mathcal{A}' 的纠缠我们会发现因为type III代数的结构导致纠缠熵实际上没法良好定义，这是发散的本质。